Pode-se mostrar que este problema sempre tem solução e que a solução é única se t 1 Os nós x j são dados pelos zeros do polinômio de Legendre, P n ( t ) . Os pesos são dados por w j = 2 1 − t j 2 [ P n ′ ( t j ) ] 2 . (9.203) Exemplo 9.7.1. Aproxime I = ∫ − 1 1 1 + x 2 d x (9.204) Solu ç ã o. A aproximação desta integral usando o método de Gauss-Legendre consiste em computar I = ∫ − 1 1 f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n w i f ( t i ) , (9.205) n I 2 2,3094011 3 2,2943456 4 2,2957234 5 2,2955705. deff(’y=f(x)’,’y=sqrt(1 + x^2)’) //G-L n=2 x2 = sqrt(3)/3 w2 = 1 I2 = w2(1)*f(x2(1)) + w2(1)*f(-x2(1)) disp(I2) //G-L n=3 x3 = [0 -sqrt(3/5) sqrt(3/5)] w3 = [8/9 5/9 5/9] I3 = w3(1)*f(x3(1)) + w3(2)*f(x3(2)) + w3(2)*f(-x3(2)) disp(I3) //G-L n=4 x4 = [sqrt((3-2*sqrt(6/5))/7) sqrt((3+2*sqrt(6/5))/7)] w4 = [(18+sqrt(30))/36 (18-sqrt(30))/36] I4 = w4(1)*f(x4(1)) + w4(1)*f(-x4(1)) . + w4(2)*f(x4(2)) + w4(2)*f(-x4(2)) disp(I4) //G-L n=5 x5 = [0 1/3*sqrt(5-2*sqrt(10/7)) 1/3*sqrt(5+2*sqrt(10/7))] w5 = [128/225 (322+13*sqrt(70))/900 (322-13*sqrt(70))/900] I5 = w5(1)*f(x5(1)) + w5(2)*f(x5(2)) + w5(2)*f(-x5(2)) .
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